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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
    （1）求该抛物线的函数关系式；
    （2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
    （3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
    （2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
    ①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
    ②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；
    （3）P、B重合，E点在x轴上，这样A、P、E三点在x轴上，所以A、P、E、F为顶点不可能构成平行四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
    ∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，
    将C（0，3）代入上式，得：
    3=a（0-2）2-1，a=1；
    ∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

    （2）分两种情况：
    ①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
    令y=0，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
    ∵点A在点B的右边，精英家教网
    ∴B（1，0），A（3，0）；
    ∴P1（1，0）；
    ②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
    ∵OA=OC，∠AOC=90°，
    ∴∠OAD2=45°；
    当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
    ∴AO平分∠D2AP2；
    又∵P2D2∥y轴，
    ∴P2D2⊥AO，
    ∴P2、D2关于x轴对称；
    设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
    将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
    3k+b=0
    b=3
    ，
    解得
    k=-1
    b=3
    ；
    ∴y=-x+3；
    设D2（x，-x+3），P2（x，x2-4x+3），
    则有：（-x+3）+（x2-4x+3）=0，
    即x2-5x+6=0；
    解得x1=2，x2=3（舍去）；
    ∴当x=2时，y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1；
    ∴P2的坐标为P2（2，-1）（即为抛物线顶点）．
    ∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；

    （3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；精英家教网
    当点P的坐标为P2（2，-1）（即顶点Q）时，
    平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
    ∵P（2，-1），
    ∴可设F（x，1）；
    ∴x2-4x+3=1，
    解得x1=2-
    		2
    ，x2=2+
    		2
    ；
    ∴符合条件的F点有两个，
    即F1（2-
    		2
    ，1），F2（2+
    		2
    ，1）．
    点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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