Question

【题目】问题背景 如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．

问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=　 　，AC=　 　．

问题再探 如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．

问题解决 求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）6、3；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）设AC=x，则AB=2x，根据三角形的三边关系，求出x的取值范围，然后取一个符合条件的值即可；

（2）根据两角对应相等的两三角形相似，可证明△DAC∽△DBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，代入即可构成方程组求解；

（3）设AC=m、则AB=2m，根据锐角三角函数表示出△ABC的面积，然后由余弦定理，可求得cosC的关系式，再代入面积的关系式，配方后，根据二次函数的最值求解即可.

试题解析：问题初探，设AC=x，则AB=2x，

∵BC=4，

∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，

解得： ＜x＜4，

取x=3，则AC=3、AB=6，

故答案为：6、3；

问题再探，∵∠CAD=∠B，∠D=∠D，

∴△DAC∽△DBA，

则==，

设CD=a、AD=b，

∴，

解得：，

即CD=；

问题解决，设AC=m、则AB=2m，

根据面积公式可得S△ABC=ACBCsinC=2msinC=2m，

由余弦定理可得cosC=，

∴S△ABC=2m

=2m

=

=

=

由三角形三边关系知＜m＜4，

所以当m=时，S△ABC取得最大值．