Question

如图，在直径为AB的半圆内，画出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形建筑物DEFN，其中DE在AB上，设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，建筑物DEFN所占区域的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB边上距B点1.85的K处有一处文物，问：这处文物是否位于最大建筑物的边上？如果在，为保护文物，请设计出你的方案，使满足条件的内接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避开文物．

Answer 1

解：（1）过C作CM⊥AB于M，则CM=h，
在Rt△ABC中，AB===10，
根据三角形面积公式得：S_△ACB=AC×BC=AB×h，
∴h===4.8

（2）∵△CNF∽△CAB
∴
∴NF=
∴=-（x-2.4）²+12，
则当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；

（3）当S_矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM==4.8，
∵EF=CM=2.4，
∴F为BC中点，
BF=BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB===1.8
∵BK=1.85
∴BK＞EB
故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案
∵x=2.4时，NF=5
∴AD=3.2
由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：
将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．
答：（1）△ABC中AB边上的高h为4.8；（2）当x=2.4时，S_矩形DEFN最大；（3）文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案，新设计方案是将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中．
分析：（1）首先利用勾股定理求得AB的长．再利用三角形面积的两种求法解得高h的值．
（2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求关系式的最大值．
（3）根据（2）知，知道x的取值，此时S_矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并与1.85比较大小．
点评：本题主要考查了二次函数求极值、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．