Question

已知抛物线y=ax²-2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且|OC|=3|OA|
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），|OC|=3|OA|
∴C（0，-3）
∵抛物线经过A（-1，0），
C（0，-3）
∴
∴
∴y=x²-2x-3．

（2）由（1）的抛物线知：点B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx-3，代入B点坐标，得：
3k-3=0，解得 k=1
∴直线BC的函数表达式为y=x-3．

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），
根据题意得：-2=m-3，∴m=1．
①当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO₁=t，OD=2
∴S₁=2t；
当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；
∵OB=OC=3，∴△OBC、△D₁GH都是等腰直角三角形，∴D₁G=D₁H=t-1；
S₂=S_矩形DD1O1O-S_△D1HG=2t-×（t-1）²=-t²+3t-．
②由①知：
当0＜t≤1时，S=2t的最大值为2；
当1＜t≤2时，S=-t²+3t-=-（t-3）²+4，由于未知数的取值范围在对称轴左侧，且抛物线的开口向下；
∴当t=2时，函数有最大值，且值为 S=-+4=＞2．
综上，当t=2秒时，S有最大值，最大值为 ．

（4）由（2）知：点P（1，-2）．假设存在符合条件的点M；
①当AMPN时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式中有：
x²-2x-3=-2，解得 x=1±；
∴AM=NP=，
∴M₁（--1，0）、M₂（-1，0）．
②当ANPM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分；
设M（m，0），则 N（m-2，2），代入抛物线的解析式中，有：
（m-2）²-2（m-2）-3=2，解得 m=3±；
∴M₃（3-，0）、M₄（3+，0）．
综上，存在符合条件的M点，且坐标为：
M₁（--1，0）、M₂（-1，0）、M₃（3-，0）、M₄（3+，0）．
分析：（1）首先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，即可利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的抛物线解析式可得点B的坐标，而点C的坐标已经求得，由待定系数法求解即可．
（3）①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两者的重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正方形的面积减去△DGH的面积（G、H分别为ED、OD和线段BC的交点）．在判断t的取值范围时，要注意一个“关键点”：点D位于线段BC上时．
②根据①的函数性质即可得到答案，要注意未知数的取值范围．
（4）若存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形，那么应分：AMPN或ANPM两种情况，由于AM在x轴上，结合平行四边形的特点可知：无论哪种情况，点N到x轴的距离都等于点P到x轴的距离，根据这个特点可确定点M、N的坐标．
点评：该题是难度较大的二次函数综合题，包涵了：函数解析式的确定、图形面积的解法、平行四边形的性质等重要知识．（3）题是图形的动点问题，要把握住“关键点”，本着“不重不漏”的原则分段讨论．（4）题虽然难度不大，但涉及的情况较多，要结合图形分类讨论，争取做到不漏解．