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如图,某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD,其中ABDC,∠B=90°,AB=100m,BC=80m,CD=40m,现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN,其中点P在线段AD上,且PM的长至少为36m.
(1)求边AD的长;
(2)设PA=x(m),求S关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)若S=3300m2,求PA的长.(精确到0.1m)
(1)过点D作DE⊥AB于E
则DEBC且DE=BC,CD=BE,DEPM
Rt△ADE中,DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD=
AE2+DE2
=
3600+6400
=100m

(2)∵DEPM
∴△APM△ADE
AP
AD
=
PM
DE
=
AM
AE

x
100
=
PM
80
=
AM
60

∴PM=
4
5
x,AM=
3
5
x
即MB=AB-AM=100-
3
5
x
S=PM•MB=
4
5
x•(100-
3
5
x)=-
12
25
x2+80x
由PM=
4
5
x≥36,得x≥45
∴自变量x的取值范围为45≤x≤100

(3)当S=3300m2时,
80x-
12
25
x2=3300
12x2-2000x+82500=0
3x2-500x+20625=0
x=
500±
(-500)2-4×3×20625
6
=
500±50
6

∴x1=
550
6
≈91.7(m),x2=
450
6
=75(m)
即当s=3300m2时,PA的长为75m,或约为91.7m.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图①,点A′,B′的坐标分别为(2,0)和(0,-4),将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO,点A′的对应点是点A,点B′的对应点是点B.
(1)写出A,B两点的坐标,并求出直线AB的解析式;
(2)将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠,(点C在x轴上,点D在AB上,点D不与A,B重合)如图②,使点B落在x轴上,点B的对应点为点E.设点C的坐标为(x,0),△CDE与△ABO重叠部分的面积为S.
①试求出S与x之间的函数关系式(包括自变量x的取值范围);
②当x为何值时,S的面积最大,最大值是多少?
③是否存在这样的点C,使得△ADE为直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

矩形OABC的顶点A(-8,0)、C(0,6),点D是BC边上的中点,抛物线y=ax2+bx经过A、D两点,如图所示.
(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值;
(2)在y轴上取一点P,使PA+PD长度最短,求点P的坐标;
(3)将抛物线y=ax2+bx向下平移,记平移后点A的对应点为A1,点D的对应点为D1,当抛物线平移到某个位置时,恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点,求此抛物线的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A、O,在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,则点P的坐标是(  )
A.(-3,-3)B.(1,-3)
C.(-3,-3)或(-3,1)D.(-3,-3)或(1,-3)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,抛物线c1经过A,B,C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E.
(1)求抛物线c1解析式;
(2)求四边形ABDE的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似,如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由;
(4)设抛物线c1的对称轴与x轴交于点F,另一条抛物线c2经过点E(抛物线c2与抛物线c1不重合),且顶点为M(a,b),对称轴与x轴相交于点G,且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形全等,求a,b的值.(只需写出结果,不必写出解答过程)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图①,在平面直角坐标系中,已知△ABC是等边三角形,点B的坐标为(12,0),动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
3
个单位的速度运动,设运动时间为t秒.以点P为顶点,作等边△PMN,点M,N在x轴上.
(1)当t为何值时,点M与点O重合;
(2)求点P坐标和等边△PMN的边长(用t的代数式表示);
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF,点E在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q;
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

某厂生产某种零件,该厂为鼓励销售商订货,提供了如下信息:
①每个零件的成本价为40元;
②若订购量在100个以内,出厂价为60元;若订购量超过100个时,每多订1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元;
③实际出厂单价不能低于51元.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)当一次订购量为______个时,零件的实际出厂单价降为51元.
(2)设一次订购量为x个时,零件的实际出厂单价为P元,写出P与x的函数表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂价-成本).

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线y=-
2
3
x2+
4
3
x+2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B运动,过M作x轴的垂线,交抛物线于点P,交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)设当点M运动了x(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.

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