Question

14．如图所示，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，现要把它加工成正方形零件，使正方形零件的面积最大．聪聪和明明两位同学分别设计了一种方法，如图所示，请你运用刚刚学过的相似三角形的有关知识，来说明一下他俩谁的设计方法更符合要求．

Answer 1

分析 对于聪聪的设计：设正方形EFCD的边长为x，则BF=6-x，证明△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质得$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{6}$，解得x=$\frac{24}{7}$；对于明明的设计：设正方形DEFM的边长为y，作CH⊥AB于H，交DM于G，则GH=y，CG=CH-y，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法计算出CH=$\frac{24}{5}$，接着证明△CDM∽△CAB，利用相似比得到$\frac{y}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$，解得y=$\frac{120}{37}$，然后通过比较x和y的大小判断谁的设计方法更符合要求．

解答 解：对于聪聪的设计：设正方形EFCD的边长为x，则BF=6-x，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{BC}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{6-x}{6}$，解得x=$\frac{24}{7}$，
即正方形EFCD的边长为$\frac{24}{7}$；
对于明明的设计：设正方形DEFM的边长为y，作CH⊥AB于H，交DM于G，则GH=y，CG=CH-y，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∵DM∥AB，
∴△CDM∽△CAB，
∴$\frac{DM}{AB}$=$\frac{CG}{CH}$，即$\frac{y}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$，解得y=$\frac{120}{37}$，
而x=$\frac{24}{7}$=$\frac{120}{35}$，
∴x＞y，
∴聪聪设计的正方形零件的面积比明明设计的正方形的面积要大，
∴聪聪的设计方法更符合要求．

点评 本题考查了相似三角形的应用：通过构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行几何计算．