Question

已知直线y=x+b交x轴交于点A，交y轴于点B，交双曲线y=

k

x

(k＞0，x＞0)于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）若b=-2，且四边形OBDC是平行四边形，请根据题意画出示意图，并k的值；
（2）若OC=

2

OB，且BC•AC=4，求b的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据平行四边形的对边相等求出点C的纵坐标，然后代入直线解析式求出点C的坐标，再代入双曲线解析式计算即可求出k值；
（2）设点C的横坐标为c，根据直线解析式表示出点C的坐标，再根据勾股定理列式求出BC²、AC²，然后根据BC•AC=4整理出关于b、c的一个关系式，再在Rt△OCD中，利用勾股定理列式得到关于b、c的方程，然后用b表示出c，再把c代入b、c的关系式求解即可．

解答：解：（1）易求A（-b，0），B（0，b），
∵b=-2，
∴A（2，0），B（0，-2），
∵四边形OBDC是平行四边，
∴点C的纵坐标为2，
代入直线y=x-2得，x-2=2，
解得x=4，
∴点C（4，2），
代入双曲线得，

k

4

=2，
解得k=8，
示意图如图所示；

（2）设点C的横坐标为c，
∵点C在直线y=x+b上，
∴C（c，c+b），
由勾股定理得，BC²=c²+（c+b-b）²=2c²，
AC²=（c+b）²+（c+b-0）²=2（c+b）²，
∵BC•AC=4，
∴BC²•AC²=16，
即2c²•2（c+b）²=16，
∴c（c+b）=2=k，
在Rt△OCD中，OD²+CD²=OC²，
∵OC=

2

OB，
∴c²+（c+b）²=（

2

b）²，
整理得，2c²+2bc-b²=0，
解得c=

3 -1

2

b或c=

- 3 -1

2

b，
①b＞0时，c=

3 -1

2

b，
所以，c（c+b）=

3 -1

2

b•（

3 -1

2

b+b）=2，
整理得，b²=4，
解得b=2，b=-2（舍去），
②b＜0时，c=

- 3 -1

2

b，
所以，c（c+b）=

- 3 -1

2

b•（

- 3 -1

2

b+b）=2，
整理得，b²=4，
解得b=2（舍去），b=-2，
综上所述，b的值是±2．

点评：本题是反比例函数综合题型，主要利用了平行四边形的对边相等的性质，双曲线图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程，难点在于（2）把已知条件转化为含有点C的横坐标的关系式，以及根据勾股定理列出关于点C的横坐标与b的方程，要注意根据b的正负情况分情况讨论．