【题目】已知四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=90°.
(Ⅰ)如图1,连接BD,若⊙O的半径为6,弧AD=弧AB,求AB的长;
(Ⅱ)如图2,连接AC,若AD=5,AB=3,对角线AC平分∠DAB,求AC的长.
【答案】(Ⅰ)6;(Ⅱ)4
【解析】
(Ⅰ)如图1,先利用圆周角定理得到BD为直径,即BD=12,再证明△ABD为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形求出AB;
(Ⅱ)如图2,连接BD,作BH⊥AC于H,先利用圆周角定理得到BD为直径,利用勾股定理计算出BD=,再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC=BD=,接着在Rt△ABH中计算出AH=BH=,然后在Rt△BCH中计算出CH=,从而得到AC的长.
解:(Ⅰ)如图1,
∵∠DAB=90°,
∴BD为直径,即BD=12,
∵,
∴AD=AB,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴AB=BD=6;
(Ⅱ)如图2,连接BD,作BH⊥AC于H,
∵∠DAB=90°,
∴BD为直径,BD==,
∴∠BCD=90°,
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠BAC=45°,
∴∠CBD=∠BDC=45°,
∴△CDB为等腰直角三角形,
∴BC=BD=×=,
在Rt△ABH中,AH=BH=AB=,
在Rt△BCH中,CH==,
∴AC=AH+CH==4.
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【题目】如图,△ABC中,AD是∠BAC内的一条射线,BE⊥AD,且△CHM可由△BEM旋转而得,则下列结论中错误的是( )
A.M是BC的中点B.FM=EH
C.CF⊥ADD.FM⊥BC
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【题目】如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E在AB上,且DE∥CA.
(1)△BDE与△BCA相似吗?为什么?
(2)已知AB=8,AC=6,求DE的长.
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【题目】已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴l交x轴于点A.
(1)若此抛物线经过点(1,2),当点A的坐标为(2,0)时,求此抛物线的解析式;
(2)抛物线y=x2+bx+c交y轴于点B,将该抛物线平移,使其经过点A,B,且与x轴交于另一点C.若b2=2c,b≤﹣1,比较线段OB与OC+的大小.
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【题目】定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】已知点A(4,3),B(9,3),将线段AB向下平移3个得到DC,其中点A与点D对应,点B与点C对应.
(1)画出线段DC,并直接写出点D的坐标 ;
(2)连接AD和BC得到四边形ABCD绕点D逆时针旋转90°后得到四边形EFGD,点A与E对应,点B与点F对应,点C与点G对应.
①请画出四边形EFGD,并直接写出点F的坐标 ;
②连接DB、DF、BF,△ABC的面积是 .
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【题目】已知,△ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径,点D为优弧BC的中点
(1)如图1,连接OD,求证:AB∥OD;
(2)如图2,过点D作DE⊥AC,垂足为E.若AE=3,BC=8,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)若BC2=ADAB,求证:四边形ADCE为正方形.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BDP的周长最短?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)求出△ABC外接圆心M的坐标.
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