Question

【题目】如图，四边形内接于，为直径，平分，与相交于．

求证：；

若直径，，求的值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)．

【解析】

（1）证△CBE∽△DBC，得出比例式，即可得出答案；

（2）求出△ACB是等腰直角三角形，求出BC，根据（1）和已知求出BE、DE，根据相交弦定理求出即可．

（1）∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB．

∵∠ADB=∠ECB，∴∠BDC=∠BCE．

∵∠DBC=∠CBE，∴△CBE∽△DBC，∴=，∴BC2=BEBD．

（2）∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠BAC，∴AB=BC．

∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=6，由勾股定理得：BC=6．

∵BC2=BEBD，BE：ED=3：1，∴设ED=x，则BE=3x，BD=4x，∴36=12x2，解得：x=，设OE=y，则AE=3+y，CE=3﹣y．

由相交弦定理得：（3+y）（3﹣y）=3，解得：y=3，即OE=3．