Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点我，已知B点坐标（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心P位置，并求圆心P坐标；
（3）若D是抛物线上一动点，是否存在点D，使以P、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，请直接写出满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将点B（4，1）的坐标代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-，
故抛物线的解析式为y=-a²+x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²+x+2，
∴点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外接圆的圆心P位置在斜边AB的中点处，
∴点P的坐标为（，0）．

（3）存在点D的坐标．
①若BC为梯形的底边，过点P作BC的平行线，交抛物线于点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为y=-+2，
故可设直线PD的解析式为y=-x+c，
将点P的坐标（，0）代入可得：-×+c=0，
解得：c=，
故直线PD的解析式为y=-x+，
联立抛物线与直线PD的解析式：，
解得：或，
即点D的坐标为（，）或（，）．
②若BC为梯形的对角线，过点C作CD∥BP，交抛物线于点D，
此时点D的纵坐标为2，将y=2代入抛物线解析式可得点D的坐标为（3，2）．
综上可得点D的坐标为：（，）或（，）或（3，2）．
分析：（1）将点B的坐标代入可求出a的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，从而确定△ABC的外接圆圆心在斜边的中点；
（3）分两种情况讨论，①BC为梯形的底边，②BC为梯形的对角线，分别求出点D的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的外接圆圆心及直线与抛物线的交点，涉及的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，要求同学们熟练掌握各知识点，并能将所学知识点融会贯通．