Question

课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：

(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图(1)所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．

(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：

第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图(2)甲)；

第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图(2)乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步：沿直线DM折叠(如图(2)丙)，此时点G恰好与N点重合．

请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．

(3)不难发现：将一张标准纸按如图(3)一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据＝＝2·＝＝，得出矩形纸片ABEF也是标准纸； 　　(2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出＝＝，即可得出答案； 　　(3)分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可． 　　解答：解：(1)是标准纸， 　　理由如下： 　　∵矩形ABCD是标准纸， 　　∴＝， 　　由对开的含义知：AF＝BC， 　　∴＝＝2·＝＝， 　　∴矩形纸片ABEF也是标准纸． 　　(2)是标准纸，理由如下： 　　设AB＝CD＝a，由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a， 　　DG⊥EM， 　　∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE， 　　∴∠DAE＝∠BAD＝45°， 　　∴△ADG是等腰直角三角形， 　　∴在Rt△ADG中，AD＝＝a， 　　∴＝＝， 　　∴矩形纸片ABCD是一张标准纸； 　　(3)对开次数： 　　第一次，周长为：2(1＋)＝2＋， 　　第二次，周长为：2(＋)＝1＋， 　　第三次，周长为：2(＋)＝1＋， 　　第四次，周长为：2(＋)＝， 　　第五次，周长为：2(＋)＝， 　　第六次，周长为：2(＋)＝， 　　… 　　∴第5次对开后所得标准纸的周长是：， 　　第2012次对开后所得标准纸的周长为：． 　　点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．

提示：

考点：翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼．