Question

已知：关于x的方程（k+2）x²-x+2=0，
（1）k取何值时，方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根．
（2）k取何值时，方程有实根？

Answer 1

分析：（1）由关于x的方程（k+2）x²-x+2=0有两个相等的实数根，即可得k+2≠0且判别式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，即可求得k的值；然后将k的值代入原方程，利用直接开平方法，即可求得这时方程的根；
（2）分两种情况：①k+2=0时，为一元一次方程，此时方程有实根；②k+2≠0时，为一元二次方程，由判别式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，解此不等式即可求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵关于x的方程（k+2）x²-x+2=0有两个相等的实数根，
∴判别式△=（-1）²-4×（k+2）×2=0，k+2≠0，
解得：k=-

15

8

；
∴k=-

15

8

时，方程有两个相等的实数根．
当k=-

15

8

时，原方程为：

1

8

x²-x+2=0，即（x-4）²=0，
解得：x₁=x₂=4；

（2）分两种情况：
①k+2=0时，为一元一次方程，此时方程有实根，即当k=-2时，方程有一个实根；
②k+2≠0时，为一元二次方程，由判别式△=（-1）²-4×（k+2）×2≥0，
解得：k≤-

15

8

．
即当k≤-

15

8

且k≠-2时，方程有两个实根．
综上可知当k≤-

15

8

时，方程有实根．

点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解法．此题难度中等，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．