Question

19．如图．已知DE∥AC，DF∥AB，BD：DC=2：5．设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$．用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示；
（1）$\overrightarrow{CD}$：（2）$\overrightarrow{DF}$：（3）$\overrightarrow{AC}$（4）$\overrightarrow{DE}$．

Answer 1

分析 （1）由BD：DC=2：5，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，可求得$\overrightarrow{CD}$的值；
（2）由DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可求得$\overrightarrow{EA}$，又由DF∥AB，可证得四边形AEDF是平行四边形，继而求得答案；
（3）直接利用三角形法则求解即可求得答案；
（4）由平行线分线段成比例定理求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵BD：DC=2：5，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{b}$；

（2）∵DE∥AC，
∴BE：EA=BD：DC=2：5，
∴$\overrightarrow{EA}$=-$\frac{5}{7}$$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{5}{7}$$\overrightarrow{a}$，
∵DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{EA}$=-$\frac{5}{7}$$\overrightarrow{a}$；

（3）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{7}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{7}{2}$$\overrightarrow{b}$；

（4）∵DF∥AB，
∴BD：DC=AF：FC=2：5，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{FA}$=$\frac{2}{7}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{2}{7}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{2}{7}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．

点评 此题考查了平面向量的知识．注意证得四边形AEDF是平行四边形，注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．