Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S_△ADE+S_△CEF的值是________．

Answer 1

30或48
分析：如图，首先把梯形补成正方形，然后把△BEC旋转到△BMN的位置，根据它们条件容易证明：△ANB和△ABE全等，这样AE=AD=10，设CE=x，然后用x表示AM，AD，DE在根据△ADE是直角三角形利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x，就可以求出S_△ADE+S_△CEF的值．
解答：解：如图，延长DA，过B作BM⊥DA，交其延长线于M．
∴到四边形DCBM是正方形，
∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋转到△BMN的位置，
∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN
∵∠ABE=45°
∴∠EBC+∠ABM=90°-45°=45°
∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共
∴△ABN≌△ABE
∴AN=AE=10，设CE=x，那么MN=x，DE=CD-CE=12-x，AM=10-x，AD=12-AM=2+x，
在Rt△ADE中：AD²+DE²=AE²
∴（2+x）²+（12-x）²=10²
∴x₁=4，x₂=6，
当x=4时，CE=4，DE=8，AD=6
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE，
∴
∴CF=3，
∴S_△ADE+S_△CEF=30；
当x=6时，CE=6，DE=6，AD=8
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE
∴
∴CF=8
∴S_△ADE+S_△CEF=48．
故S_△ADE+S_△CEF的值是 30或48．
故答案为：30或48．
点评：此题首先作辅助线把梯形的问题转化成正方形的问题，然后利用旋转方法解题，最后利用相似三角形的性质和勾股定理求AD、CE、DE，从而求题目的面积之和．