Question

已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=

k

x

(x＞0，k＞0)的图象上，点P（m，n）是函数y=

k

x

(x＞0，k＞0)的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）当S=

8

3

时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质得OA=AB=2，则B点坐标为（2，2）；把B（4，4）代入y=

k

x

中，即可求出k；
（2）分类：P（m，n）在y=

4

x

上，得到mn=4，当x＞2，S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，解得n=

2

3

；当0＜x≤2，S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，解得m=

2

3

，即可确定P点坐标；
（3）由（2）得易得到S关于m的函数关系式：当x＞2，S=（m-2）•n，当0＜x≤2，S=m（n-2）．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为4，即OA=AB=2，
∴B点坐标为（2，2）；
把B（2，2）代入y=

k

x

中，得k=2×2=4；
所以B点的坐标为（2，2），k的值为4；

（2）如图，
∵P（m，n）在y=

4

x

上，
∴mn=4，
当x＞2，
∴S=AE•PE=（m-2）•n=mn-2n=4-2n=

8

3

，
解得n=

2

3

，则m=6，
∴P点坐标为（6，

2

3

）；
当0＜x≤2，
∴S=P′F′•F′C=m（n-2）=mn-2m=4-2m=

8

3

，
解得m=

2

3

，则n=6，
∴P′点坐标为（

2

3

，6）；
所以点P的坐标为（6，

2

3

）或（

2

3

，6）；

（3）由（2）得
当x＞2，S=（m-2）•n=mn-2n=4-2•

4

m

=

4m-8

m

；
当0＜x≤2，S=m（n-2）=mn-2m=4-2m．

点评：本题考查了反比例函数的综合题的解法：先利用待定系数法确定反比例的解析式，那么图象上所有点的横纵坐标的乘积为定值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．