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20.已知点M(0,1),点N是抛物线y=x2-1上的一动点,设MN2=d,则d的最小值为$\frac{7}{4}$.

分析 求出抛物线与x轴的交点坐标,由勾股定理求出MB=$\sqrt{2}$;设N(x,x2-1),作NA⊥y轴于A,则OA=x2-1,AN=x,∴MA=OM-OA=2-x2,由勾股定理和二次函数的最值得出d的最小值=$\frac{7}{4}$<2,得出当N是抛物线与x轴的交点时,d有最小值为$\frac{7}{4}$即可.

解答 解:抛物线y=x2-1,
当y=0时,x=±1,
∴抛物线与x轴的交点坐标为:B(1,0),C(-1,0),
∵M(0,1),
∴OM=1,
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$;
设N(x,x2-1),
作NA⊥y轴于A,如图所示:
则OA=x2-1,AN=x,
∴MA=OM-OA=2-x2
由勾股定理得:d=MN2=MA2+AN2=(2-x22+x2=x4-3x2+4=(x2-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{7}{4}$,
当x2=$\frac{3}{2}$时,d的最小值=$\frac{7}{4}$<2,
∵点N是抛物线y=x2-1上的一动点,
∴当N是抛物线与x轴的交点时,d有最小值为$\frac{7}{4}$;
故答案为:$\frac{7}{4}$.

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、勾股定理等知识;熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键.

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