Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）．
（1）求AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP=CQ=x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB．
（2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标．
（3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值．

解答：解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3），
∴OB=3，AO=4，
∴AB=

AO2+OB2

=5；

（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，
∴BO²=AO•OC，即OC=

BO2

AO

=

9

4

=2.25，
∴C点的坐标是（2.25，0）；

（3）

当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，
∴

AP

PB

=

AQ

QC

，
∵AP=CQ=x，
∴

x

5-x

=

6.25-x

x

，
解得x=

25

9

．
当△APQ与∽△ACB时，

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

x

6.25

=

6.25-x

5

，
解得：x=

125

36

答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；（3）存在，x的值为

25

9

或

125

36

．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，射影定理等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，属于中档题．