Question

9．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．
（1）如图1，若∠COA=60°，∠CDO=70°，求∠ACD的度数．
（2）如图2，点E在线段OD上（不与O，D重合），CD、CE的延长线分别交⊙O于点F、G，连接BF，BG，点P是CO的延长线与BF的交点，若CD=1，BG=2，∠OCD=∠OBG，∠CFP=∠CPF，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）由OA=OC，∠COA=60°即可得出△ACO为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出∠CAD=60°，再结合∠CDO=70°利用三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AG，延长CP交BG于点Q，交⊙O于点H，令CG交BF于点R，根据相等的边角关系即可证出△COD≌△BOQ（ASA），从而得出BQ=CD=1，∠CDO=∠BQO，再根据BG=2即可得出OQ⊥BG．利用三角形的内角和定理以及∠CFP=∠CPF即可得出∠FCG=∠HCG，结合交的计算以及同弧的圆周角相等即可得出$\widehat{FG}$=$\widehat{GH}$，$\widehat{GH}$=$\widehat{AF}$，$\widehat{AC}=\widehat{AF}=\widehat{BH}$，由此即可得出G为$\widehat{AB}$中点，进而得出△AGB、△OQB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理即可算出CG的长度．

解答 解：（1）∵OA=OC，∠COA=60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠CAD=60°，
又∵∠CDO=70°，
∴∠ACD=∠CDO-∠CAD=10°．
（2）连接AG，延长CP交BG于点Q，交⊙O于点H，令CG交BF于点R，如图所示．
在△COD和△BOQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠OBQ}\\{OC=OB}\\{∠COD=∠BOQ}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△BOQ（ASA），
∴BQ=CD=1，∠CDO=∠BQO．
∵BG=2，
∴OQ⊥BG，
∴∠CQG=90°．
∵∠CGQ+∠GCQ+∠CQG=180°，∠RCP+∠CPR+∠CRP=180°，∠CGQ=∠CFP=∠CPF，
∴∠CRP=∠CQG=90°，
∵∠CFP=∠CPF，
∴∠FCG=∠HCG，
∴$\widehat{FG}$=$\widehat{GH}$．
∵∠OCD=∠OBG，∠FCG=∠FBG，
∴∠ABF=∠GCH，
∴$\widehat{GH}$=$\widehat{AF}$．
∵∠CDO=∠BQO=90°，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AF}=\widehat{BH}$，
∴点G为$\widehat{AB}$中点，
∴△AGB、△OQB为等腰直角三角形．
∵BQ=1，
∴OQ=BQ=1，OB=$\sqrt{2}$BQ=$\sqrt{2}$．
在Rt△CGQ中，GQ=1，CQ=CO+OQ=$\sqrt{2}$+1，
∴CG=$\sqrt{G{Q}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查了圆的综合运用、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）找出△ACO为等边三角形；（2）找出△AGB、△OQB为等腰直角三角形．本题属于中档题，第（2）小问难度不小，解决该问时，利用相等的角对的弧度相等，找出点G为$\widehat{AB}$中点是关键．