Question

20．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（-2，-1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求C点的坐标和△AOD的面积；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正比例函数图象可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式可求得C、D的坐标，则可求得OD的长，再根据三角形的面积公式可求得△AOD的面积；
（3）可设出P点坐标，利用勾股定理表示出AP、OP和AO的长，分AP=OP、AP=AO和OP=AO三种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵A点在正比例函数y=2x图象上，
∴2m=2，解得m=1，
∴A（1，2），且B（-2，-1），
把A、B两点坐标代入一次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=x+1；

（2）在y=x+1中，令y=0可求得x=-1，令x=0可求得y=1，
∴C（-1，0），D（0，1），
∴OD=1，且A（1，2），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

（3）假设存在满足条件的P点，设其坐标为（t，t+1），
则AP=$\sqrt{（t-1）^{2}+（t+1-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$|t-1|，OP=$\sqrt{{t}^{2}+（t+1）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}+2t+1}$，AO=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵△AOP为等腰三角形，
∴有AP=OP、AP=AO和OP=AO三种情况，
①当AP=OP时，则$\sqrt{2}$|t-1|=$\sqrt{2{t}^{2}+2t+1}$，解得t=$\frac{1}{4}$，此时P点坐标为（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）；
②当AP=AO时，则$\sqrt{2}$|t-1|=$\sqrt{5}$，解得t=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$或t=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，此时P点坐标为（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）；
③当OP=AO时，则种情况$\sqrt{2{t}^{2}+2t+1}$=$\sqrt{5}$，解得t=1或t=-2，当t=1时，A、P两点重合，舍去，此时P点坐标为（-2，-1）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）或（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或（-2，-1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键，在（3）中用P点坐标分别表示出AP、OP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．