Question

19、已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；
（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD+BE=AB．
（2）在AB上截取AG=AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD=AG．同理可证，BG=BE，即AD+BE=AB．
（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：
①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；
②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；
AD，BE，AB之间的关系．

解答：解：（1）AD+BE=AB．

（2）成立．
（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AC=AC，AD=AG，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG，
∵AM∥BN，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB，
∵∠ABC=∠CBE，BC=BC，
∴△BGC≌△BEC．
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．

（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．
由（1）得AF+BG=AB，
∵AM∥BN，∠AFG=90°，
∴∠BGF=∠FGE=90°，
∵∠DAC=∠CAB，∠ABC=∠CBE，
∴CF=CH，CH=CG，
∴CF=CG，
∵∠FCD=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE．
∴DF=EG，
∴AD+BE=AF+BG=AB．
（方法三）：延长GC，交AM于点F．
∵AM∥BN，
∴∠FCD=∠CBG，
∵∠CBH=∠CBG，
∴∠FCD=∠CBH，
∴AF=AB，
∵∠DAC=∠CAB，AC=AC，
∴△AFC≌△ABC，CF=CB，
∵∠ECG=∠BCG，
∴△FCD≌△BCE，
∴DF=BE，
∴AD+BE=AD+DF=AF=AB．

（3）不成立．
存在．当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图①），AD-BE=AB．
当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图②），BE-AD=AB．

点评：此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用全等三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．