Question

如图已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

（1）由于抛物线经过A（-2，4）和点B（1，0），则有：

4m-4m+n=4 m+2m+n=0

，解得

m=- 4 3 n=4

；
故m=-

4

3

，n=4．

（2）由（1）得：y=-

4

3

x²-

8

3

x+4=-

4

3

（x+1）²+

16

3

；
由A（-2，4）、B（1，0），可得AB=

(1+2)2+(0-4)2

=5；
若四边形AA′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=-

4

3

（x+1-5）²+

16

3

=-

4

3

（x-4）²+

16

3

．

（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（-2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=-

1

2

x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3

5

，B′C=

5

，BC=

10

；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：

B′C

AB

=

B′D

AC

，即

5

5

=

B′D

3 5

，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：

B′C

AC

=

B′D

AB

，即

5

3 5

=

B′D

5

，B′D=

5

3

，
此时D（

13

3

，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（

13

3

，0）．