Question

如图，已知二次函数y=-x²+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C．
（1）求tan∠BAC
（2）在y轴上是否存在一点P，使得△DOP与△ABC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
（3）Q是抛物线上一动点，使得以A、B、C、Q为端点的四边形是一个梯形，请直接写出满足条件的Q点的坐标．（不要求写出解题过程）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由二次函数y=-x²+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C，可求得各点的坐标，则可判定△ABC是直角三角形，继而求得tan∠BAC；
（2）分别从P于点B重合时与P在y轴负半轴时，设P（0，a），去分析求解即可求得答案；
（3）分别从AQ∥BC，BQ∥AC，CQ∥AB去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）把y=0代入y=-x²+2x+3，得-x²+2x+3=0．
解得 x₁=-1，x₂=3，
即A（3，0），D（-1，0），
把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
∴B（0，3），
把x=1代入y=-x²+2x+3，
y=4，即C（1，4）．
过点C作CE⊥y轴，垂足为E．
∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°且BC=

2

，AB=3

2

．
∴tan∠BAC=

BC

AB

=

2

3 2

=

1

3

；

（2）①P于点B重合时，
∵OD=1，OP=OB=3，
∴

OD

BC

=

OP

AB

=

2

2

，
∵∠POD=∠ABC，
即△DOP∽△CBA；
此时点P（0，3）；
根据对称性可得：P（0，-3），
②当P在y轴负半轴时，设P（0，a），
由①知∠DBP=∠BAC．
∴当∠BDP=Rt∠时，△BDO∽△DOP，
则△ODP∽△BAC，
∴

DO

OP

=

BO

DO

，
∴OP=

1

3

，
∴P（0，-

1

3

）；
根据对称性可得：（0，

1

3

）；
∴所以满足题意的P点为（0，3），（0，

1

3

），（0，-3）或（0，-

1

3

）．

（3）①若AQ∥BC，
∵点B（0，3），点C（1，4），
∴直线BC的解析式为：y=x+3，
∴直线AQ的解析式为：y=x-3，
与二次函数联立得：

y=-x2+2x+3 y=x-3

，
解得：x=-2或x=3，
∴Q₁（-2，-5）；
②若BQ∥AC，
∵直线AC的解析式为：y=-2x+6，
∴直线BQ的解析式为：y=-2x+3，
与二次函数联立得：

y=-x2+2x+3 y=-2x+3

，
解得：x=0或x=4，
∴Q₂（4，-5）；
③若CQ∥AB，
∵直线AB的解析式为：y=-x+3，
∴直线CQ的解析式为：y=-x+5，
与二次函数联立得：

y=-x2+2x+3 y=-x+5

，
解得：x=1或x=2，
∴Q₃（2，3）；
综上所述：Q₁（-2，-5），Q₂（4，-5），Q₃（2，3）．

点评：此题考查了二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求函数的解析式、梯形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．