Question

两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．
（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=

1

4

x²+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH⊥OE．
∴OE=2x，GH=x，
∵y=

1

2

OE•GH=

1

2

•2x•x=x²（0≤x≤3）

（2）A（6，6）
当x=2时，OE=2×2=4．
∴OH=2，HG=2，
∴G（2，2）．

6= 1 4 •36+6b+c 2= 1 4 •4+2b+c

∴X

b=-1 c=3

∴y=

1

4

x²-x+3．

（3）设P（m，n）．
当点P到y轴的距离为2时，
有|m|=2，
∴|m|=2．当m=2时，得n=2，
当m=-2时，得n=6．
当点P到x轴的距离为2时，有|n|=2．
∵y=

1

4

x²-x+3
=

1

4

（x-2）²+2＞0
∴n=2．当n=2时，得m=2．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（2，2），P₂（-2，6）．