Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；

（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，顶点M（1，4），点C（0，3）;（2）见解析;

（3）点P存在，其坐标为（1,）或（1，） .

【解析】

（1）将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中建立方程组，解方程组求得a、b、c的值即可得到所求的解析式，再由所得解析式求出顶点M的坐标和点C的坐标即可；

（2）根据（1）中所得点M、C的坐标求得直线CM的解析式，即可求得点D的坐标，然后结合已知条件证得CD=AN，AD=CN，即可证得四边形CDAN是平行四边形；

（3）如下图，若圆P过A、B两点，设点P的坐标为（1，y0），过点P作PQ⊥CM于点M，则当PQ=PA时，圆P和直线CM相切，由此结合已知条件列出关于y0的方程，解方程求出y0的值即可得到所求的点P的坐标.

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）

∴可建立方程组： ，解得： ，

∴所求二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=-(x-1)2+4，

∴顶点M的坐标为：（1，4），

∵在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，

∴点C的坐标为：（0，3）

（2）∵直线y=kx+d经过C、M两点，

∴ ，解得：即k=1，d=3，

∴直线CM的解析式为y=x+3．

∵在y=x+3中，当y=0时，x=﹣3，

∴点D的坐标为：（﹣3，0），

∵点C、A、N的坐标分别为（0，3）、（-1，0）、（2，3），

∴CD= ，AN=，AD=2，CN=2，

∴CD=AN，AD=CN，

∴四边形CDAN是平行四边形；

（3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，

∵二次函数y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1，

∴可设P的坐标为：（1，y0），

∴PA是圆P的半径且PA2=y02+22 ，

如下图，过点P做PQ⊥CD于Q，则当PQ=PA时，以P为圆心的圆与直线CD相切．

∵D、M、E的坐标分别为（-3，0）、（1，4）、（1，0），

∴DE=ME=4，ME⊥DE，

∴△MDE为等腰直角三角形，

∴△PQM也是等腰直角三角形，

由点P的坐标为（1，y0）可得PE=y0 ，

∴PM=|4﹣y0|，

∴，

由PQ2=PA2时，圆P和直线CM相切，可得方程：

，

解得，

∴满足题意的点P存在，其坐标为（1，）或（1，） .