Question

【题目】开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴的交点为A、B（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC、BC．

（1）若△ABC是直角三角形（图1），求二次函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，将抛物线沿y轴的负半轴向下平移k（k＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，求k的值；

（3）当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线COB运动到点B，点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由．（参考数据：.6，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点P先到达点B．

【解析】

（1）根据已知的抛物线解析式，可求得A、B的坐标，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理的得到OC2=OAOB（或由相似三角形证得），即可得到OC的长，从而确定C点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可确定a的值，从而求出该抛物线的解析式；
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，可求出其顶点坐标，由于函数图象的平移方法已经确定，即沿y轴负半轴向下平移，若抛物线与坐标轴只有两个交点，则有两种情况：
①C、O重合，此时抛物线向下平移了OC长个单位，
②抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线向下平移的单位长度与（1）的抛物线的顶点纵坐标相同，
综合上述两种情况，即可求得k的值；
（3）当C（0，4）时，可根据其坐标确定此时抛物线的解析式，进而求得其顶点D的坐标；P点的移动距离易求得（即OC+OB），而Q点的轨迹是一条曲线，无法直接求得，因此需要化曲为直，间接的和P点的移动距离进行比较；连接CD、BD，根据B、C、D三点坐标，即可求得CD、BD的长，从而确定BD+CD同OC+OB的大小关系，显然Q点移动距离要大于CD+BD，这样就判断出P、Q两点的路程谁大谁小，由于两点的速度相同，那么路程短的就先到达B点．

解：抛物线y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）若△ABC是直角三角形，只有∠ACB＝90°．

由题意易得△ACO∽△COB，

∴，

∴，

∴CO＝2

∵抛物线开口向下，

∴C（0，2）

把C（0，2）代入得：

（0+1）（0﹣4）a＝2，

∴；

（2）由可得：

抛物线的顶点为（，），点C（0，2），

当点C向下平移到原点时，

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，

∴k＝2

当顶点向下平移到x轴时，

平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点，

∴；

（3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），

抛物线的顶点为D（，）

连接DC、DB

∵D（，），B（4，0），C（0，4），

∴CD＝，

DB＝；

∴CD+DB＝2.7+6.75＝9.45

∵CO+OB＝4+4＝8，

∴DB+DC＞CO+OB

由函数图象可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长

所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度

所以点P先到达点B．