Question

【题目】如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME.

(1)试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

(2)若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______．

(3)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的点，则DM和ME的关系为______，并说明理由。

Answer 1

【答案】DM=ME且DM⊥MEDM=ME且DM⊥ME

【解析】

（1）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明；（2）延长EM交AD于点H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明；（3）连接AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明.

（1）DM=ME.

证明：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中， ，

∴△FME≌△AMH（ASA）,

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（2）如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中， ，

∴△FME≌△AMH（ASA）,

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

∵四边形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD=CD，CE=CF，

∵△FME≌△AMH，

∴EF=AH，

∴DH=DE，

∴△DEH是等腰直角三角形，

又∵MH=ME，

∴DM⊥ME．

故答案为：DM=ME且DM⊥ME．

（3）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一条直线上，

在Rt△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，

∴∠DMF=2∠DAM．

在Rt△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．

∴∠MAE=∠MEA，

∴∠FME=2∠MAE，

易证△ADM≌△AEM，则∠DAM=∠EAM，

∴∠DME=2∠DAE=90°，

即DM⊥ME．

综上所述，DM=ME且DM⊥ME．