Question

15．已知：如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD交于点O，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）动点P从点A出发，沿着射线AB运动，同时点Q从点B出发，沿着折线B-C-D向终点D运动，P、Q的速度均为1个单位每秒，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动，运动时间t秒．设△PBQ面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若仅将其中点Q的速度改为a个单位每秒，其它条件不变，在点P运动到某一位置时（不与B重合），恰有∠OPC=∠OBC，此时点Q未到终点，∠OQC+∠OBC=180°，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质求出边长，再用三角函数求出OA，OB，即可得出AC，BD即可；
（2）先求出CF，BF，再分点Q在BC和CD上，两种情况用三角形面积公式即可得出和函数关系式；
（3）分点Q在CD和BC上，两种情况，判断出点Q的位置，根据点P的位置得出点P，Q运动时间，再求出点Q的运动路程，即可得出点Q的运动速度．

解答 解：（1）∵菱形ABCD周长为20，
∴AB=BC=CD=5，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，sin∠BAC=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∴OB=3，
∴OA=4，
∴AC=2OA=8，BD=2OB=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
（2）如图1，过点Q作QE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，
∴QE∥CF，
在Rt△ACF中，AC=8，sin∠BAC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\frac{CF}{8}=\frac{3}{5}$，
∴CF=$\frac{24}{5}$，
∴AF=$\frac{32}{5}$，
∴BF=AF-AB=$\frac{7}{5}$，
①当0＜t＜5时，
由运动知，AP=t，BQ=t，
∴BP=AB-AP=5-t，
∵QE∥CF，
∴△BEQ∽△BFC，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{QE}{CF}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{QE}{\frac{24}{5}}$，
∴QE=$\frac{24}{25}$t，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•QE=$\frac{1}{2}$•（5-t）•$\frac{24}{25}$t=-$\frac{12}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t$，
②当5＜t≤10时，
如图2，由运动知，AP=t，
∴BP=AP-AB=t-5，
由①知，CF=$\frac{24}{5}$，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•CF=$\frac{1}{2}$•（t-5）•$\frac{24}{5}$=$\frac{12}{5}$（t-5）=$\frac{12}{5}$t-12．
∴$S=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{12}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t（0＜t＜5）}\\{\frac{12}{5}t-12（5＜t≤10）}\end{array}\right.$；
（3）如图3，当点Q在CD上时，
∵∠OQC+∠OBC=180°，
∴点O、B、C、Q四点共圆，
∵∠OQC+∠OBC=180°，∠OPC=∠OBC，
∴∠OQC+∠OPC=180°，
∴点O、P、C、Q四点共圆，
∴点O、B、P、C、Q五点共圆，
∴O、B、P、C四点共圆，
∴∠BPC+∠BOC=180°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BPC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠PCQ=90°，
同（2）①的方法得，BP=$\frac{7}{5}$，
∵点B、P、C、Q四点共圆，
∴∠BQC+∠BPC=180°，
∴∠CQB=90°，
∴四边形BPCQ是矩形，
∴CQ=BP=$\frac{7}{5}$，
∴AP=AB+BP=5+$\frac{7}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴t=$\frac{32}{5}$÷1=$\frac{32}{5}$，
∴BC+CQ=$\frac{32}{5}$，
∴$\frac{32}{5}$÷a=$\frac{32}{5}$，
∴a=1，
②当点Q在BC上时，
如图3中的Q'，
∵OQC+∠OBC=180°，
∠OQ'C+∠OBC=180°，
∴∠OQC=∠OQ'C，
∵AC是菱形对角线，
∴∠OCQ=∠OCQ'，
在△OCQ和△OCQ'中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OQC=∠OQ'C}\\{∠OCQ=∠OCQ'}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCQ≌△OCQ'，
∴CQ'=CQ=$\frac{7}{5}$，
∴BQ'=BC-CQ'=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{18}{5}$÷a=$\frac{32}{5}$，
∴a=$\frac{9}{16}$，
即：满足条件的a的值为1或$\frac{9}{16}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，四点共圆，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，求出点Q的运动路程是解本题的关键，考查的知识点比较多，是一道很好的中考压轴题．