Question

11．在平面直角坐标系xOy中，正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂按图中所示的方式放置，点A₁、A₂、A₃…和B₁、B₂、B₃…分别在直线y=kx+b和x轴上，如果A₁（1，-1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），则点A₂₀₁₆的坐标是（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵）．

Answer 1

分析 将A₁、A₂的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB₁，OB₂的长，设B₂G=A₃G=b，表示出A₃的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A₃的坐标，依此类推寻找规律，即可求出A_n的坐标．

解答 解：如图，

连接A₁C₁，A₂C₂，A₃C₃，分别交x轴于点E、F、G，
∵A₁（1，1），
∴（5×（$\frac{3}{2}$）^1-1-4，（$\frac{3}{2}$）^1-1），
∵A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴（5×（$\frac{3}{2}$）^2-1-4，（$\frac{3}{2}$）^2-1），
∴OB₁=2OE=2，OB₂=OB₁+B₁F=2+2×（$\frac{7}{2}$-2）=5，
将A₁与A₂的坐标代入y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$，
设B₂G=A₃G=b，则有A₃坐标为（5+b，b），
代入直线解析式得：b=$\frac{1}{5}$（5+b）+$\frac{4}{5}$，
解得：b=$\frac{9}{4}$，
∴A₃坐标为（$\frac{29}{4}$，$\frac{9}{4}$），即（5×（$\frac{3}{2}$）^3-1-4，（$\frac{3}{2}$）^3-1），
依此类推A_n（5×（$\frac{3}{2}$）^n-1-4，（$\frac{3}{2}$）^n-1）．
∵n=2016，
∴A₂₀₁₆（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵）
故答案为：（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵）

点评 此题考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键．