分析 (1)只要证明$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$,$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,即可解决问题.
(2)如图2中,连接BD.由OD⊥AC,推出$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$,推出∠DBA=∠DBC,由∠DAC=∠DBC,所以∠ABC=2∠DBC=2∠DAE,所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠ABC,由此即可证明.
(3)如图3中,连接OA、BD,在BD上截取BN=BC,连接CN.首先证明△ADC是等边三角形,在RT△AOE中求出AE,Q求出△ADC的边长,再利用勾股定理求出BC、BD,最后证明BD=AB+BC即可解决问题.
解答 (1)证明:如图1中,连接CD.
∵OD⊥AC,
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$,
∴AD=CD,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,
∴AB=CD,
∴AB=AD.
(2)证明:如图2中,连接BD.
∵OD⊥AC,
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$,
∴∠DBA=∠DBC,
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠ABC=2∠DBC=2∠DAE,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵∠AED=90°,
∴∠DAE=90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC,
即90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(3)解:如图3中,连接OA、BD,在BD上截取BN=BC,连接CN.
∵ED⊥AC,DE经过圆心,
∴AE=EC,
∴DA=DC,
∵∠DAC=60°,
∴△ADC是等边三角形,
∴AC=CD,∠DCA=60°,∠OAD=∠OAC=30°,
∵∠AEO=90°,OE=$\frac{\sqrt{21}}{3}$,
∴AE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{7}$,
∴AC=CD=2$\sqrt{7}$,
∵DM⊥BC,
∴∠DMC=90°,
∴DM2=CD2-CM2=(2$\sqrt{7}$)2-12=27,
∴DM=3$\sqrt{3}$.
∵∠DBC=∠DAC=60°,
∴BM=DM•tan30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3,
∴BD=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{27+9}$=6,BC=BM+CM=3+1=4,
∵∠CBN=60°,BN=BC,
∴△BCN是等边三角形,
∴∠BCN=∠ACD=60°,CB=CN,
∴∠ACB=∠NCD,∵AC=CD,CB=CN,
∴△BCA≌△NCD,
∴AB=DN,
∴BD=BN+DN=BC+AB,
∴6=4+AB,
∴AB=2.
点评 本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题.
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A. | a+2<b+2 | B. | a-2>b-2 | C. | -3a<-3b | D. | -$\frac{a}{2}$<-$\frac{b}{2}$ |
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A. | 多项式5x2-2x+4是二次三项式 | |
B. | 单项式-a2b3c4的系数是-1,次数是9 | |
C. | 式子m+5,ab,-2,$\frac{s}{v}$ 都是代数式 | |
D. | 多项式与多项式的和一定是多项式 |
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