Question

（2013•渭源县模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为

1+

3

．

Answer 1

分析：首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由Rt△AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△FGB，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．

解答：解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，点E是BC边的中点，
∴AD=BE=CE=1，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠DEC=90°，∠A=90°，
又∵∠C=60°，
∴DE=CE•tan60°=1×

3

=

3

，
又∵△DEF是等边三角形，
∴DF=DE=AB=

3

，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30°，
∴AG=AD•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴DG=2AG=

2 3

3

，FG=DF-DG=

3

-

2 3

3

=

3

3

，
BG=AB-AG=

3

-

3

3

=

2 3

3

，
∵在△AGD与△FGB中，

AG=FG ∠AGD=∠FGB DG=BG

，
∴△AGD≌△FGB，
∴BF=AD=1，
∴△BFG的周长为=FG+BG+BF=

3

3

+

2 3

3

+1=1+

3

．
故答案为：1+

3

．

点评：本题考查的是直角梯形，涉及到等边三角形的性质及解直角三角形，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．