Question

2．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
（1）如图1，当点D为BC中点时，试说明：$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAC$．
（2）如图2，联接CE，当EC⊥BC时，试说明：△ABC为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质可得出AD⊥BC，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，再通过角的计算即可证出结论∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）通过等腰三角形以及角的计算找出∠BAD=∠CAE，由此即可证出△BAD≌△CAE（SAS），从而得出∠B=∠ACE=∠ACB，再结合EC⊥BC，即可得出∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，即△ABC为等腰直角三角形．

解答 证明：（1）∵点D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
（2）∵AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAE}\\{DA=EA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE=∠ACB，
∵EC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角的计算、全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；（2）证出∠ACB=∠ACE=∠B=45°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．