Question

7．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C．
（1）求AB长；
（2）同时经过A，B，C三点作⊙D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，横坐标为10的点E在抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4上，连接AE，BE，求∠AEB的度数．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，即可解决问题．
（2）连接AC，BC，由tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，推出∠ACO=∠CBO，由∠OBC+∠OCB=90°，推出∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，推出AB为⊙D的直径，即可解决问题．
（3）设AE交⊙D于点K，连接BK，作ER⊥x轴于R．由tan∠EAR=$\frac{ER}{AR}$=$\frac{1}{2}$，推出∠EAR=∠ACO，∠CAE=∠EAR+∠CAO=∠ACO+∠CAO=90°，由AB为⊙D直径，推出∠AKB=∠ACB=∠CAK=90°，四边形ACBK为矩形，推出BK=AC，AC²=AO²+OC²=20，推出BK=AC=2$\sqrt{5}$
在Rt△BER中，BE²=BR²=ER²=2²+6²=40，推出BE=2$\sqrt{10}$，由cos∠KBE=$\frac{BK}{BE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出∠KBE=45°，即可解决问题．

解答 解：（1）把y=0代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，解得：x=8或2，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴OA=2，BO=8，
∴AB=10，
（2）连接AC，BC，

把x=0代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°
∴AB为⊙D的直径，
∵AD=BD=5，
∴OD=3，
∴D（3，0）．

（3）设AE交⊙D于点K，连接BK，作ER⊥x轴于R．

∵点E的横坐标为10，∴把x=10代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，y=-6，
∴E（10，-6），
∴ER=6，OR=10，
∴AR=12，
∴tan∠EAR=$\frac{ER}{AR}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EAR=∠ACO，
∴∠CAE=∠EAR+∠CAO=∠ACO+∠CAO=90°
∵AB为⊙D直径∠AKB=∠ACB=∠CAK=90°
∴四边形ACBK为矩形，
∴BK=AC，AC²=AO²+OC²=20，
∴BK=AC=2$\sqrt{5}$
在Rt△BER中，BE²=BR²=ER²=2²+6²=40，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴cos∠KBE=$\frac{BK}{BE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠KBE=45°，
∴∠AEB=∠AKB-∠KBE=45°．

点评 本题考查圆综合题、二次函数的应用、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．