Question

已知长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形．
（1）求点D的坐标；
（2）直线y=2x+6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，

∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，

∠DEA=∠AFP=90° ∠EAD=∠FPA AD=AP

，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；

（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为y=2（x-6）+6=2x-6，
如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）-6，得m=

14

3

，
∴D点坐标（

28

3

，

38

3

）；
如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（

20

3

，

22

3

），
综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（

28

3

，

38

3

），（

20

3

，

22

3

）．