Question

4、设x³-2x²+ax+b除以（x-1）（x-2）的余式为2x+1，则a、b的值是（　　）

A、a=1，b=3

B、a=-1，b=3

C、a=1，b=-3

D、a=-1，b=-3

Answer 1

分析：由题意，可知（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）能够被（x-1）（x-2）整除，即（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-1）（x-2）．则当x=1和x=2时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，即可求出a、b的值．

解答：解：∵x³-2x²+ax+b除以（x-1）（x-2）的余式为2x+1，
∴（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-1）（x-2）．
当x=1时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=（1-2+a+b）-（2+1）=a+b-4=0    ①
当x=2时，（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）=（8-8+2a+b）-（4+1）=2a+b-5=0  ②
②-①，得a-1=0，
∴a=1．
把a=1代入①，得b=3．
故选A．

点评：本题主要考查了整式乘除法与因式分解的关系，待定系数法在因式分解中的应用，属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是能够通过整式乘除法与因式分解的关系得出（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）含有因式（x-1）（x-2），从而运用待定系数法得出x=-2和x=1时，多项式（x³-2x²+ax+b）-（2x+1）的值均为0，进而列出方程组，求出a、b的值．