Question

如图，抛物线l₁：y=-x²平移得到抛物线l₂，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l₂的顶点为点B，它的对称轴与l₂相交于点C，设l₁、l₂与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：
（1）求l₂表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标．
（2）求点C的坐标，并直接写出S的值．
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S_△POA=

1

2

S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考公式：抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是x=-

b

2a

，顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）】．

Answer 1

分析：（1）由抛物线l₂经过点O（0，0）和点A（4，0），利用待定系数法即可求得l₂表示的函数解析式，然后利用配方法求得其顶点式，即可求得它的对称轴，顶点的坐标；
（2）由当x=2时，y=-x²=-4，可得C点坐标是（2，-4），即可得S即是抛物线l₂与x轴组成的面积，则可求得S的值；
（3）首先设直线AC表示的函数解析式为y=kx+n，利用待定系数法即可求得此直线的解析式，然后设△POA的高为h，求得S_△POA，设点P的坐标为（m，2m-8）．分别从当点P在x轴上方时与当点P在x轴下方时去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）设l₂的函数解析式为y=-x²+bx+c，
把点O（0，0）和点A（4，0）代入函数解析式，得：

c=0 -16+4b+c=0

，
解得：

b=4 c=0

，
∴l₂表示的函数解析式为：y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴l₂的对称轴是直线x=2，顶点坐标B（2，4）；

（2）当x=2时，y=-x²=-4，
∴C点坐标是（2，-4），
∵顶点坐标B（2，4），
∴S即是抛物线l₁、l₂与x轴组成的面积，
∴S=

1

2

×2×（4+4）=8；

（3）存在．
理由：设直线AC表示的函数解析式为y=kx+n，
把A（4，0），C（2，-4）代入得：

4k+n=0 2k+n=-4

，
解得：

k=2 n=-8

，
∴y=2x-8，
设△POA的高为h，
S_△POA=

1

2

OA•h=2h=4，
设点P的坐标为（m，2m-8）．
∵S_△POA=

1

2

S，且S=8，
∴S_△POA=

1

2

×8=4，
当点P在x轴上方时，得

1

2

×4（2m-8）=4，
解得m=5，
∴2m-8=2．
∴P的坐标为（5，2）．
当点P在x轴下方时，得

1

2

×4（8-2m）=4．
解得m=3，
∴2m-8=-2，
∴点P的坐标为（3，-2）．
综上所述，点P的坐标为（5，2）或（3，-2）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的平移以及三角形面积等问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．