Question

直角坐标系中O是原点，梯形OABC各顶点的坐标如图所示，
（1）直接写出OA所在直线的解析式；
（2）求经过O、A、C三点的抛物线解析式；
（3）试在（2）中的抛物线上找一点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出D的坐标；
（4）设P点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线O→A→B向终点B运动，求从出发起运动了t秒时P点的坐标及相应t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线OA的解析式是y=kx，把A（3，4）代入求出k即可；
（2）经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），把A（3，4）代入求出a即可；
（3）求出抛物线的对称轴（直线x=6），根据全等得出OC=OC，A和D是对应点，根据对称的性质得出A与D关于x=6对称时，所得的三角形和△ACO全等，根据A的坐标即可求出D的坐标；
（4）求出AO、AB，分为两种情况：①当P在OA上时，根据sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，求出PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，即可得出答案；②当P在AB上时，即可得出P的纵坐标是4，横坐标是2t-5．

解答：解：（1）设直线OA的解析式是y=kx，
把A（3，4）代入得：k=

4

3

，
∴OA所在直线的解析式是y=

4

3

x．

（2）∵O（0，0），C（12，0），
∴设经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），
把A（3，4）代入得：4=a（3-0）×（3-12），
解得：a=-

4

27

，
∴y=-

4

27

（x-0）（x-12）=-

4

27

x²+

16

9

x，
答：经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-

4

27

x²+

16

9

x．

（3）∵y=-

4

27

x²+

16

9

x=-

4

27

（x-6）²+

16

3

，
∴抛物线的对称轴是直线x=6，
∵在抛物线上找一点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOC全等，A（3，4）
∴OC=OC，D于A是对应点，
∴当且仅当A、D关于直线x=6对称时，以以D、O、C为顶点的三角形才与△AOC全等，
即6-3=3，6+3=9，
∴D的坐标是（9，4）．

（4）过A作AH⊥OC于H，PN⊥OC于N，
∵A（3，4），B（11，4），
∴AB∥x轴，
∴由勾股定理得：OA=5，
分为两种情况：
①当P在OA上时，OP=2t，sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，
解得：PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，
∴P的坐标是（

6

5

t，

8

5

t）；
∵OA=5，
2t=5，
t=2.5，
∴此时t的范围是0≤t≤2.5
②当P在AB上时，P的纵坐标是4，横坐标是OH+HM=3+2（t-2.5）=2t-2，
即P的坐标是（2t-2，4），
∵11-3=8，8+5=13，13×

1

2

=6.5
∴此时t的范围是2.5≤t≤6.5．

点评：本题考查了用待定系数法求正比例函数、二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用这些性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．用了分类讨论思想．