Question

如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，若AB=AC．
（1）求证：DE平分∠CDF．
（2）求证：AB²=AD•AE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠FDE=∠EDC，进而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ADC∽△ACE，则

AD

AC

=

AC

AE

，进而得出答案．

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，
∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠EDC，
即DE平分∠CDF；

（2）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠ECA+∠ACB=180°，∠ACB=∠EDC，
∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD×AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD•AE．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，得出∠FDE=∠ACB=∠ABC是解题关键．