Question

【题目】已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）连接，交于点．

①若，求的长；

②作，垂足为，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．

【解析】

（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得，然后根据平行线的判定可得，，最后根据平行四边形的判定即可得证；

（2）①先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据（1）已求，从而可得，然后根据线段的和差即可得；

②先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，由此即可得证．

（1）∵是等边三角形

∴，

在中，

∴

∵点是线段的中点

∴

∴是等边三角形

∴，

∴

∴

∴

∴四边形为平行四边形；

（2）①如图，连接，交于点

∵

∴

∴

∵，

∴

∵

∴；

②如图，作，垂足为

∵，，

∴

∴，

∴，

∴

∴．