Question

15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D、E是AO的三等分点，且点D在点E的右侧，点F是AB的中点．动点P从点B出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿折线BE-EF-FD运动．当点P不与点E、F重合时，过点P作其运动所在线段的垂线，交AB边于点N，交BO或AO于点M．设点P运动时间为t（秒）．
（1）写出点F的坐标，并判断△DEF的形状．
（2）当点P在线段BE上运动时，用含有t的式子表示线段MN的长．
（3）设以点M、N、E、F为顶点的四边形的面积为S，当点P在折线EF-FD上运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）若以M、N、E、F为顶点的四边形存在一组对角相等时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据A、B坐标，中位线性质，易得F的坐标；利用等腰直角三角形判定，易得∠FDG=45°，从而判断出△DEF的形状；
（2）利用分类讨论思想，当过点O且垂直与BE时，t=$\frac{1}{2}$；若点P与E重合时，t=1；利用三角形相似，表示出线段长度；
（3）利用分类讨论思想，四边形的面积公式，分当P在线段EF上时；当P在线段FD上时；数形结合，得出答案；
（4）分别利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质结合，当0≤t＜$\frac{1}{2}$时；当$\frac{1}{2}$≤t＜1时；当1≤t＜$\frac{3}{2}$时；当$\frac{3}{2}$≤t＜2时；分别得出符合题意的答案即可．

解答 解：（1）F（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
如图1，过F做AO的垂线，垂足为G，
∵FG=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
EG=DG=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$=FG，
∴△EFD为等腰直角三角形；

（2）①当0≤t＜$\frac{1}{2}$时，如图2，
∵$\frac{BP}{BE}$=$\frac{NP}{EF}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}$=$\frac{NP}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∵MP=BP=$\sqrt{2}$t，
∴MN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t；
②当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，如图3，
∵NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，MP=PE=$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$t，
∴MN=NP+MP=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t；

（3）当P在线段EF上时，如图4，
∵PF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$t，
∴NP=2PF=$3\sqrt{2}$-$2\sqrt{2}$t，
∵PE=$\sqrt{2}$t-$\sqrt{2}$=PM；
∴MN=$2\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_{四边形EFMN}=$\frac{1}{2}$EF•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$2\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=$\frac{2-t}{2}$；
当P在线段FD上时，如图5，
∵PF=$\sqrt{2}t-\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴NP=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，
PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（$\sqrt{2}$t-$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$2\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
PM=PD=$2\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∴S_{四边形EFMN}=$\frac{1}{2}$（MN+EF）•PF=-t²+$\frac{13}{4}$t-$\frac{21}{8}$；

（4）①如图6，
连接ME，作FQ⊥AO于点Q，当0≤t＜$\frac{1}{2}$时，
∵OB=EO=1，
∴∠BEO=45°，
∵F为AB的中点，FQ∥BO，
∴Q为AO的中点，
∴FQ=EQ=$\frac{1}{2}$，
∴∠EFQ=45°，
∴BE⊥EF，
∴MN∥EF，
当ME∥AB时，
故四边形NMEF是平行四边形，
则有两对角对应相等，
∵ME∥AB，
∴△OME∽△OBA，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{1}{3}$，
∴BM=$\frac{2}{3}$，
∴BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵P以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿折线BE-EF-FD运动，
∴t=$\frac{\sqrt{2}}{3}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$（s），
即当t=$\frac{1}{3}$s时，四边形MEFN是平行四边形，一定有一组对角相等；
②当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，MN≠EF，不存在，以M、N、E、F为顶点的四边形存在一组对角相等；
③如图7，
当1≤t＜$\frac{3}{2}$时，当MN垂直平分EF，此时NE=NF，EM=FM，
在△NEM和△NFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{NE=NF}\\{MN=MN}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△NEM≌△NFM（SSS），
∴∠NEM=∠NFD，
∵FM=EM=$\frac{1}{2}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此时EP=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{1}{4}$（s）时，四边形MEFN，一定有一组对角相等；
④当$\frac{3}{2}$≤t＜2时，MN≠EF，不存在，以M、N、E、F为顶点的四边形存在一组对角相等．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质额平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．