Question

13．已知：如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O上不与A，B重合的一个动点，延长PA到C，使AC=AP，点D为⊙O上一点，且满足AD∥PB，射线CD交PB延长线于点E．
（1）求证：△PAB≌△ACD；
（2）填空：
①若AB=6，则四边形ABED的最大面积为18；
②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，则当∠PAB的度数为30°或60°时，以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形．

Answer 1

分析 （1）连接BD，先判断出四边形ADBP矩形，得出AD=PB，再用SAS得出△PAB≌△ACD；
（2）①先判断出四边形ADEB是平行四边形，而AB是定值，要四边形ADEB面积最大，只有点D到AB的距离最大，最大为圆的半径，最后根据三角形面积公式计算即可；
②要使四边形OADF是菱形，即OA=AD，得出三角形AOD是等边三角形，即∠OAD=60°即可．

解答 解：（1）如图1，连接，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=∠ADB=90°，
∵AD∥PB，
∴∠CAD=∠APB=90°，
∴∠PAD=90°
∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°，
∴四边形ADBP是矩形，
∴AD=PB，
在△PAB≌和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{AC=AP}\\{∠CAD=∠APB}\\{AD=PB}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△ACD，
（2）①由（1）知，AD=PB
∵AD∥PB，AC=AP，
∴AD=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$（PB+BE），
∴PB=EB，
∴AD=BE，
∵AD∥PB，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∵AB是⊙O的直径，不变，
∴直线CD和⊙O相切时，即：点D到直径AB的等于半径时，四边形ABED的最大，
∵AB=6
∴S_{四边形ABED的最大}=AB×$\frac{1}{2}$AB=18，
故答案为18；
②Ⅰ、如图1，由①知，四边形ADEB是平行四边形，
∴OA∥DF，
∵以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形，
∴OA=AD=DF，
∴∠BAD=60°，
∵∠PAD=90°，
∴∠PAB=30°，
Ⅱ、如图2，连接OD，OF，
由①知，四边形ADEB是平行四边形，
∴OA∥DF，
∵以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形，
∴∠ODA=∠FDA，OD=OF=DF，
∴∠ODC=60°，
∴∠OAD=∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ODC=30°，
∵AB∥BC，
∴∠ABP=∠OAD=30°，
∴∠PAB=90°-∠ABP=60°
同理：∠PAB=60°，
故答案为30°或60°．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，解本题的关键是得出四边形ADBP是矩形，难点是四边形ADEB的面积最大时AB边上的高是圆的半径．