Question

已知抛物线C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞1）的顶点为A，抛物线C₂的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C₁和C₂关于P（1，3）成中心对称．
（1）用m的代数式表示抛物线C₁的顶点坐标；
（2）求m的值和抛物线C₂的解析式（含有字母a）；
（3）设抛物线C₂与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）观察抛物线解析式，可发现前三项提取公因式a后，可配成完全平方式，由此可将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到C₁的顶点坐标．
（2）由于B点在y轴上，且A、B关于P点呈中心对称，那么点P为线段AB的中点，即A横坐标为P点的2倍，可据此求出m的值，进而可表示出A、B的坐标，由于抛物线C₁和C₂关于P（1，3）成中心对称，那么它们的开口方向相反，顶点关于P对称，根据顶点B的坐标即可表示出抛物线C₂的解析式．
（3）首先设出点C的横坐标，然后表示出AB、AC、BC的长，分①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC三种情况讨论即可．

解答：解：（1）由于抛物线C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1=a（x-m）²+2m+1，
故抛物线C₁的顶点A（m，2m+1）．

（2）分别过A、P作y轴的垂线，设垂足为F、E；
∵A、B关于P点呈中心对称，
∴AB=2BP；
∴PE是△ABF的中位线，即AF=2PE=2，
故m=2，A（2，5）；
设直线AP的解析式为y=kx+b，则有：

k+b=3 2k+b=5

，
解得

k=2 b=1

，
∴直线AP：y=2x+1，
故B（0，1）；
由于抛物线C₁和C₂关于P（1，3）成中心对称，且顶点B（0，1），则：
抛物线C₂：y=-ax²+1．

（3）设C（x，0），已知A（2，5），B（0，1）；
AB²=（2-0）²+（5-1）²=20，
AC²=（2-x）²+5²=x²-4x+29，
BC²=（0-x）²+1=x²+1；
若△ABC为等腰三角形，则有：
①AB=AC，由于AB=2

5

，而A（2，5），因此AC≥5，故AB＜AC，此种情况不成立；
②AB=BC，则AB²=BC²，有：
x²+1=20，解得x=±

19

（负值舍去）；
将x=

19

代入抛物线C₂的解析式中，得：-19a+1=0，即a=

1

19

；
③AC=BC，则AC²=BC²，有：
x²-4x+29=x²+1，解得x=7；
将x=7代入抛物线C₂的解析式中，得：-49a+1=0，即a=

1

49

；
故△ABC为等腰三角形时，a的值为

1

19

或

1

49

．

点评：此题主要考查了抛物线顶点坐标的求法、函数图象的几何变换、等腰三角形的判定等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．