Question

11．如图，已知?OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为5．

Answer 1

分析 过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB=$\sqrt{O{E}^{2}+B{E}^{2}}$．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．

解答 解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOA=∠DBC}\\{OA=BC}\\{∠OAF=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=$\sqrt{O{E}^{2}+B{E}^{2}}$．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．