Question

在学习了投影知识后，小刚和小亮利用“同一时刻太阳光下物长与影长成比例”的原理测得某棵大树的高为8米，当他们又一次经过这棵大树时，发现大树的影子落在了有个圆弧形小桥的路上，小刚突发奇想：能不能测出这个圆弧形小桥所在圆的半径呢？请你也加入他们的行列，测出小桥的半径吧！

（1）如图，AB为小亮、BC为他的影子，DE为大树，请你在图中画出这棵大树的影子（影子的另一个端点用F表示），尺规作图，保留作图痕迹；
（2）在（1）的基础上，已知小亮的身高AB为1.6米，测得小亮的影长BC为2.4米，同一时刻测得EG的长为2.5米，HF的长为1.5米，又测得小桥的拱高（弦GH的中点与的中点之间的距离）为2米，求圆弧形小桥所在圆的半径．

Answer 1

解：（1）如图所示，EF即为大树的影子；

（2）根据题意得，=，
即=，
解得EF=12，
∵EG的长为2.5米，HF的长为1.5米，
∴GH=12-2.5-1.5=8，
设圆弧形小桥所在圆的半径为r，
则（）²+（r-2）²=r²，
解得r=5，
答：圆弧形小桥所在圆的半径为5米．
分析：（1）连接AC，以点D为顶点，DE为一边作∠D=∠A，∠D的另一边与直线EH相交于F，EF即为大树的影子；
（2）先根据同时同地的物高与影长成正比求出大树的影长，再求出GH，然后根据垂径定理，利用勾股定理列式计算即可得解．
点评：本题考查了相似三角形的应用，垂径定理的应用，考虑到作平行线是解题的关键．