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6.已知:平面直角坐标系xOy中,第一象限内有一动点C(a,b),过点C作CA⊥x轴于点A,CB⊥y轴于点B,反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k>0)的图象交AC于点E,交BC于点F,连接OE,OF,记S=S△OEF-S△ECF,若S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k,当2≤a≤4时,求b的取值范围.

分析 如图,C(a,b),利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征分别表示出A(a,0),E(a,$\frac{k}{a}$),B(0,b),F($\frac{k}{b}$,b),利用三角形面积公式得到S△ECF=$\frac{1}{2}$(b-$\frac{k}{a}$)(a-$\frac{k}{b}$),S△OEF=ab-k-S△ECF,于是得到S=S△OEF-S△ECF=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$,接着利用S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k可解得ab=12,然后利用2≤a≤4得到2≤$\frac{12}{b}$≤4,然后解关于b的不等式组即可.

解答 解:如图,C(a,b),则A(a,0),E(a,$\frac{k}{a}$),B(0,b),F($\frac{k}{b}$,b),
∵S△ECF=$\frac{1}{2}$(b-$\frac{k}{a}$)(a-$\frac{k}{b}$),S△OEF=ab-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-S△ECF=ab-k-S△ECF=
∴S=S△OEF-S△ECF=ab-k-2S△ECF
=ab-k-ab+k+k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$
=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$,
而S=-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k,
∴-$\frac{{k}^{2}}{12}$+k=k-$\frac{{k}^{2}}{ab}$,
∴ab=12,
即a=$\frac{12}{b}$,
∵2≤a≤4,
∴2≤$\frac{12}{b}$≤4,
∴3≤b≤6.

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式.

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14.如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
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请在三角形②~⑥中,找出与①相似的三角形的序号是③④⑤(把你认为正确的一个三角形的序号填上)并证明你的结论.

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如图,∵∠2=∠4,
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∴DB∥EF(同旁内角互补,两直线平行)
∵∠B+∠5=180°,
∴DE∥BC.(同旁内角互补,两直线平行)

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15.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),$\widehat{A{A}_{1}}$是以点B为圆心,BA为半径的圆弧,$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧,$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧,$\widehat{{A}_{3}{A}_{4}}$是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心按上述做法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的渐开线“,那么点A5的坐标是(6,0),点A2016的坐标是(1,2017).

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16.据统计2015年宁波市实现地区生产总值8011.5亿元,按可比价格计算,比上年增长了8%,把8011.5亿用科学记数法表示是(  )
A.8011.5×108B.801.15×109C.8.0115×1010D.8.0115×1011

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