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    1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点 O为射线AC上动点，动圆⊙O始终与射线AB相切，研究⊙O与菱形ABCD各边交点总个数的情况，以下论述正确的是（　　）
    ①最少有1个交点；
    ②最多有6个交点；
    ③共有6种不同的情况；
    ④有2个交点时，$0＜AO＜\sqrt{3}$；
    ⑤有3个交点时，$AO=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
    A．①②⑤B．②C．①③④D．②④⑤

    分析 根据题意画出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图形，得出①③错误，②正确；求出有2个交点时，OA的取值范围，得出④错误；求出有3个交点时，AO的长，得出⑤错误；即可得出结论．

    解答 解：根据题意得出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图：
    最少有2个交点，最多有6个交点，
    共有7种不同的情况，
    ∴①③错误，②正确；
    有2个交点时，
    如图1和图7所示，
    在图2中，O为菱形对角线的交点，
    ∴∠AOD=90°，
    ∵∠DAB=60°，
    ∴∠DAO=30°，
    ∴OD=$\frac{1}{2}$AD=1，
    ∴OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
    ∴在图1中，0＜OA＜$\sqrt{3}$；
    而在图7中，OA＞2$\sqrt{3}$，
    ∴④错误；
    有3个交点时，
    如图4和图6所示，
    在图4中，连接OD，
    则∠ADO=90°，OA=$\frac{AD}{cos30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
    而在图6中，
    OA=2AC=4$\sqrt{3}$；
    ∴⑤错误；
    故选：B．














    点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识；根据题意画出⊙O与菱形ABCD各边交点的情况图形是解决问题的关键．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比$k=\frac{BC}{AB}$．

    （1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为$\frac{5}{3}$．
    （2）已知点C（4，0），在函数y=2x-4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
    （3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围1＜m＜3或m＞5（直接写出答案）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．解方程：10+4（x-3）=2x+4．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．如图，在平行四边形ABCD中，BC=6cm，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，BC边的对应边CE与AD边交于点F，此时△CDF为等边三角形．
    （1）求AB的长．
    （2）求图中阴影部分的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    2．化简$\sqrt{8}$的结果是（　　）
    A．$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$C．3$\sqrt{2}$D．4$\sqrt{2}$

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．数学老师布置了这样一道作业题：
    在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
    小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

    （1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
    （2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；
    （3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为0°＜α＜180°，β=60°或120°＜α＜180°，α-β=120°（直接写出结果）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．图1、图2是两种形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
    （1）在图1中画出以AB为腰的等腰三角形ABC，使点C在格点上，且tan∠BAC=$\frac{4}{3}$；
    （2）在图1中将△ABC分割2次，分割出3块图形，使这3块图形拼成一个既是轴对称图形又是中心对称图形，拼接后的图形无重叠无空隙（和△ABC的面积相等）．要求：在图1中用线段画出分割线，在图2中画出拼接后的图形，此图形的顶点均在格点上，保留拼接痕迹，画出一种即可．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    10．阅读下列材料，并解答相应的问题：

    （1）下面是两个旋转对称图形，其中，甲图是由正三角形ACE绕其对称中心旋转180°后得到的△DFB与△ACE构成的；乙图是四个全等的正三角形拼成的（拼接时不重叠且没有空隙）．点O分别是它们的旋转对称中心．其旋转角α的最小值分别为：甲：60°，乙：120°；

    （2）下面的网格都是由边长为1的正三角形组成的，请以给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图1，图2中再添加若干个基本图形，使添加的图形与基本图形组成一个新图案，要求：
    ①图1中组成的新图案是中心对称图形；
    ②图2中组成的新图案只是旋转对称图形，不是中心对称图形；
    ③两图中新图案的顶点都在格点上，并且给添加的基本图案涂上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．

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    11．操作题
    如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
    （1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
    （2）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（2，1）、B2（4，0），C2（3，-2），则旋转中心坐标为（0，2）．

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