Question

如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下面四个结论中正确的有几个（　　）  
①∠1=∠EFD；②BE=EC；③BF=DF=CD；④FD∥BC．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据等腰三直角角形ABC的“三合一”性质、角平分线的性质、全等三角形△ADF≌△ABF的性质对以下选项进行一一验证即可．

解答：解：∵在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，BE⊥AC，
∴AE=CE=BE；
故②正确；
在△ADF和△ABF中，

AD=AB ∠1=∠2 AF=AF(公共边)

，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠ADF=∠C（等量代换），
∴DF∥BC（同位角相等，两直线平行），
故④正确；
∵△ADF≌△ABF，
∴DF=BF（全等三角形的对应边相等）．
又∵DF∥BC，BE=EC，
∴EF=DF，
∴CD=BF=DF，
故③正确；
∵∠EAB=45°，∠1=∠2，∴∠1=

1

2

∠EAB=22.5°．
又∵DF∥BC，
∴∠EFD=∠EBC=45°，
∴∠1≠∠EFD；
故①错误；
综上所述，正确的说法有②③④三种；
故选C．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定．解题时，充分利用了等腰三角形的“三合一”的性质．