Question

（2012•乐山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x²-4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  3

  2

• C．

  3

• D．2

  3

Answer 1

分析：先利用根与系数的关系得到AC+BC=4和AC•BC=2，再把AC+BC=4两边平方，得到AC²+BC²的值，由勾股定理可得AB²=AC²+BC²，从而求出斜边AB的值，又因为S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB×CD，所以把已知数据代入可求出CD的长．

解答：解：∵两直角边AC、BC的长恰是方程x²-4x+2=0的两个不同的根，
∴AC+BC=-

b

a

=4，AC•BC=

c

a

=2，
∴（AC+BC）²=16，
∴AC²+BC²+2AC•BC=16，
∴AC²+BC²=16-2AC•BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB²=AC²+BC²=12，
∴AB=

12

=2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB×CD，
∴

1

2

×2=

1

2

×2

3

×CD，
∴CD=

3

3

．
故选A．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

和勾股定理以及三角形的面积公式的应用．