Question

15．?ABCD中，AB=a，BC=b，∠BCD=120°．

（1）若a=b=1，则BD=$\sqrt{3}$；
（2）如图1，求对角线BD的长（用含a、b的式子表示）；
（3）如图2，四边形BCEF也是平行四边形，连结AF并延长交BE于P，恰有∠APB=120°．设BE=m，AF=n，若a=3，b=2，试求m、n之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，根据锐角三角函数的定义得出CE及DE的长，根据勾股定理即可得出结论；
（2）延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，根据∠ACD=120°得出∠DCE=60°，再由DC=a得出CE=$\frac{a}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，故BE=b+$\frac{a}{2}$，根据勾股定理即可得出结论；
（3）连接BD，DE，根据BCEF是平行四边形可知AD=BC=EF，AD∥EF，故四边形ADEF是平行四边形，由余弦定理得出BD=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+mn}$．同理，在△BCD中根据余弦定理得出BD的长，进而可得出结论．

解答 解：（1）如图1，延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵∠ACD=120°，
∴∠DCE=60°．
∵DC=a=1，
∴CE=$\frac{1}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵BC=1，
∴BE=$\frac{3}{2}$，
∴BD=$\sqrt{{DE}^{2}+{BE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}+{（1+\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$；

（2）如图1，延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵∠ACD=120°，
∴∠DCE=60°．
∵DC=a，
∴CE=$\frac{a}{2}$，DE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∵BC=b，
∴BE=b+$\frac{a}{2}$，
∴BD=$\sqrt{{DE}^{2}+{BE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）}^{2}+{（b+\frac{1}{2}a）}^{2}}$；

（3）如图2，连接BD，DE，
∵BCEF是平行四边形，
∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=n，
∴∠BED=120°，
∴BD=$\sqrt{{BE}^{2}+{DE}^{2}-2BE•DE•cos120°}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+mn}$．
在△BCD中，
∵a=3，b=2，∠BCD=120°，
∴BD=$\sqrt{{BC}^{2}+{DC}^{2}-2BC•DC•cos120°}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}+6}$=$\sqrt{19}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+mn}$=$\sqrt{19}$，即m²+n²+mn=19．

点评 本题考查的是四边形综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．