Question

【题目】如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6、﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）．

（1）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．

①当t＝1时，求α的度数；

②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；

（2）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α与β满足，求出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）①α＝30°；②∠BCE＝2α，理由见解析；（2）t＝．

【解析】

（1）①令 ，求得α＝30°；②利用角平分线的性质求出和α是2倍的数量关系；

（2）由（1）的方法用t的关系式表示出α和β，然后根据列出方程，求出t的值．

解：（1）①当t＝1时，

∵∠DCA＝30°，∠ECD＝90°，

∴∠ECA＝120°，

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECA＝60°

∴α＝∠FCD＝60°﹣30°＝30°

②如图2中，猜想：∠BCE＝2α．

理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，

∴∠ECF＝90°﹣α，

∵CF平分∠ACE，

∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，

∵点A，O，B共线

∴∠AOB＝180°

∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．

（2）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，

β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，

∵|β﹣α|＝15°，

∴|30t|＝15°，

解得t＝．