Question

已知关于x的方程（4-k）（8-k）x²-（80-12k）x+32=0的解都是整数，求k的值．

Answer 1

分析：本题若从参数和方程的解来分析，用韦达定理和判别式法未尝不可，但实际操作中很难做到．我们注意到方程的两个解极易求出且形式简单，故可用因式分解法求出其根再利用整除理论求解．

解答：解：当k=4时，原方程为-32x+32=0，所以x=1，符合题意；
当k=8时，原方程为16x+32=0，所以x=-2，符合题意；
当k≠4且k≠8时，原方程化为[（4-k）x-8][（8-k）x-4]=0，解得x₁=

8

4-k

，x₂=

4

8-k

．
∵k为整数，且x₁，x₂均为整数根，
∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12
或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12．
综上所述，当k的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．

点评：本题并未说此方程为一元二次方程，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．本题是分类讨论的典范．